오토바이 사고 후 대물 지급 거부 상황, 직접청구권으로 해결 가능한가요?

작년 7월에 발생한 오토바이 대 오토바이 교통사고로 상대방이 100% 과실을 인정한 상황입니다. 보험 상황에서는 대인 보상은 상대방 책임보험 한도로 부족하여 무보험차상해로 처리 중이고, 대물 보상은 상대방이 과실을 인정하지 않아 보험사에서 지급이 지연되고 있습니다. 보험사 입장에서는 같은 보험사끼리 소송이 불가능하며, 개인이 상대방에게 직접 소송을 진행해야 한다고 안내받았습니다. 이런 상황에서 자동차손해배상보장법상 '직접청구권'을 행사하여 보험사에 대물 지급을 요구할 수 있는지, 행사 방법과 절차에 대해 궁금합니다. 직접청구권 행사는 상대방 보험사에 전화로 요청하면 되는 건지, 아니면 별도의 서류나 절차가 필요한지 알고 싶습니다. 또한, 단순히 말로만 직접청구권을 행사하는 것으로 지급이 진행되는지, 아니면 공식적인 절차를 거쳐야 효력이 있는지 궁금합니다. 가장 현실적인 해결 방법 (직접청구권, 금감원 민원, 지급명령 등)을 어떤 순서로 진행하는 것이 좋을지 조언을 구하고 싶습니다. 유사한 경험이나 전문 지식을 가진 분들의 답변을 기다립니다.