차량 공동명의와 자동차세 관련 질문

차량이 A명의로 등록되어 있고 1월 29일에 자동차세를 납부했으며, 2월 2일부로 B와 공동명의로 등록했습니다. B도 자동차세를 내야 할까요? 자동차세가 뜨는 이유를 위택스에서 확인해봤는데 궁금합니다.